Les fractions, le cours complet en accès libre
Ce cours de mathématiques est un cours complet de l'appli moncrpe.com, publié ici en accès libre. Comme tous les cours de l'appli, il s'appuie sur les guides Eduscol et sur les rapports de jury du CRPE.
Quatrième des sept cours de la série « Nombres et numération », ce cours part du sens d'une fraction, passe par les fractions égales et la comparaison, puis traite les quatre opérations avant de finir sur les erreurs que les rapports de jury reprochent le plus souvent aux candidats.
La lecture prend environ 17 minutes. Les guides cités sont en ligne sur le site Eduscol, les sujets et les rapports de jury sur devenirenseignant.gouv.fr. Les flashcards, le quiz et les points d'étape de ce cours restent dans l'appli, avec le plan de révision qui les repropose au bon moment.
Ce qu'est vraiment une fraction
La fraction 34 se lit « trois quarts ». Elle raconte une histoire en deux temps : on partage une unité en 4 parts égales, puis on en prend 3. Les deux nombres écrits de part et d'autre de la barre ne jouent donc pas du tout le même rôle, et c'est la première chose à savoir nommer.
Voici ce que dit le dessin quand on applique cette définition à 34 :
Mais au concours, la fraction a trois aspects, et il faut savoir passer de l'un à l'autre :
Fractions égales : simplifier et multiplier
Une même quantité peut s'écrire avec une infinité de fractions. Un demi, deux quarts, cinquante centièmes : trois écritures, une seule quantité. La règle qui gouverne tout cela tient en une phrase : si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul, la fraction ne change pas de valeur.
a est le numérateur de départ, b son dénominateur (non nul). k est le nombre par lequel on choisit de multiplier ou de diviser les deux à la fois : c'est le facteur de découpage. On le choisit soi-même, à condition qu'il ne soit pas nul.
Concrètement, avec 34 et k = 2 : on coupe chaque quart en 2, donc chaque part est deux fois plus petite (le dénominateur double, 4 devient 8) et il y a deux fois plus de parts colorées (le numérateur double, 3 devient 6). On obtient 68. Rien n'a été ajouté ni retiré.
Amplifier (multiplier par k) permet de donner à deux fractions le même dénominateur, ce qui est la condition pour les comparer ou les additionner : c'est l'outil des sections suivantes. Simplifier (diviser par k) permet de rendre le résultat final lisible : entre 84360 et 730, la seconde se représente mentalement, la première non, et pourtant la valeur exacte est la même.
Une fraction est dite irréductible quand on ne peut plus la simplifier : numérateur et dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1. Pour y arriver sans chercher tout de suite le plus grand diviseur, simplifie par étapes avec les diviseurs évidents (2 si les deux sont pairs, 3 si la somme de leurs chiffres est un multiple de 3, 5 s'ils finissent par 0 ou 5) et recommence tant que c'est possible :
3 et 4 n'ont aucun diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.
Comparer des fractions
Comparer deux fractions, c'est répondre à la question : laquelle représente la plus grande quantité ? Deux nombres sont en jeu dans chaque écriture, et ils tirent en sens contraire : plus le numérateur est grand, plus on prend de parts, donc plus c'est grand ; mais plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites, donc plus c'est petit. D'où la nécessité de "neutraliser" l'un des deux avant de conclure sur la comparaison.
Une fois les deux fractions écrites en dix-huitièmes, elles deviennent deux points sur une même graduation, et la comparaison se lit à l'œil :
Le produit des deux dénominateurs marche toujours : pour 6 et 9, 6 × 9 = 54 fonctionne. Mais on préfère le plus petit multiple commun, qui donne des nombres plus maniables : les multiples de 9 sont 9, 18, 27... et 18 est le premier qui soit aussi dans la table de 6. On garde donc 18. Réflexe rapide : écris la table du plus grand des deux dénominateurs et arrête-toi au premier nombre divisible par l'autre.
L'erreur d'élève la plus fréquente : croire que 18 > 14 « parce que 8 > 4 ». Elle vient d'un raisonnement sur les entiers plaqué sur les fractions. Le remède à l'école : revenir au sens du partage, en faisant manipuler deux disques identiques coupés l'un en 4, l'autre en 8. Un candidat capable d'expliquer cette erreur et sa remédiation marque des points sur les questions didactiques à l'oral.
Additionner et soustraire : seulement sous le même dénominateur
Additionner, c'est compter ensemble. Encore faut-il savoir en quoi on compte : trois mètres et quatre mètres font sept mètres, mais trois mètres et quatre secondes ne font rien du tout. Une fraction, c'est exactement ça : un nombre de parts (le numérateur) exprimé dans une unité (le dénominateur). Deux fractions ne s'additionnent donc que si elles partagent la même unité, d'où la règle en deux temps : mettre au même dénominateur, puis additionner les numérateurs. Le dénominateur, lui, ne bouge plus : la taille des parts n'a aucune raison de changer quand on les met ensemble.
Le dessin le rend évident sur 12 + 13. Tant que les deux barres sont découpées différemment, on ne peut rien empiler ; une fois toutes deux converties en sixièmes, l'addition devient un simple comptage :
12 est un multiple commun de 4 et 6 : on a amplifié 34 par 3, et 56 par 2. Le résultat 1912 est irréductible.
✗ 12 + 13 = 25 (additionner haut et bas séparément)
✓ 12 + 13 = 36 + 26 = 56
Contrôle de cohérence : 12 + 13, c'est plus qu'une moitié. Or 25 est plus petit qu'une moitié : le résultat était forcément faux. Additionner les dénominateurs reviendrait d'ailleurs à changer la taille des parts en cours de route, ce qui n'a aucun sens.
Multiplier des fractions
C'est la règle la plus simple à appliquer : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Et surtout, retiens que le mot « de » se traduit par une multiplication : « le quart de la récolte » = 14 × la récolte.
Multiplier, c'est prendre « une fraction d'une fraction ». Prends la moitié d'un tiers : tu coupes une tablette en 3, tu gardes un morceau, puis tu coupes ce morceau en 2. Le résultat, si tu appliquais la même double coupe à toute la tablette, ce serait 6 morceaux : tu tiens donc un sixième. On retrouve bien 12 × 13 = 16. Les dénominateurs se multiplient parce que les découpages se cumulent ; les numérateurs se multiplient parce qu'on compte les parts prises dans chaque direction.
Le modèle qui rend cela visible est le rectangle : une fraction se lit en largeur, l'autre en hauteur, et le produit est la zone doublement colorée. Voici 14 × 89 :
Diviser : multiplier par l'inverse
Diviser par un nombre, c'est chercher combien de fois ce nombre tient dans un autre. Cette question, posée avec une fraction, donne un résultat qui surprend au premier abord : diviser par un nombre plus petit que 1 augmente le résultat.
Rien d'étrange pourtant : plus les portions sont petites, plus on peut en faire.
Ce que montre le dessin se généralise ! L'inverse de cd est dc : on retourne la fraction.
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.
3 ÷ 29 demande combien de portions de deux neuvièmes on peut faire dans 3 unités.
Compte en deux temps : dans 3 unités il y a 3 × 9 = 27 neuvièmes ; en les groupant par 2, on obtient 27 ÷ 2 = 13,5 portions.
Or 3 × 9 puis ÷ 2, c'est exactement 3 × 92.
La règle « multiplier par l'inverse » n'est donc pas une astuce à mémoriser : c'est ce comptage écrit en une ligne. Et un demi-groupe, cela veut simplement dire qu'il reste de quoi faire une portion à moitié.
✗ l'inverse de 29 est -29 (c'est l'opposé : celui qui donne 0 par addition)
✓ l'inverse de 29 est 92, car 29 × 92 = 1818 = 1
Test infaillible : deux nombres sont inverses l'un de l'autre si leur produit vaut 1. Conséquence à connaître : 0 n'a pas d'inverse, puisque aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1.
Les trois pièges au concours
Avant d'additionner, pose toi une seule question : ont-elles le même dénominateur ?
Si non, commence par les y mettre.
✓ p = 2500 = 1250
Prends l'habitude de vérifier la simplification à la fin de chaque calcul de probabilité, même quand l'énoncé ne le rappelle pas.
✓ 13 ≈ 0,33 ; la valeur exacte est la fraction 13
Si l'énoncé demande la valeur exacte, la réponse est la fraction. Le signe = entre 13 et 0,33 est sanctionné : c'est l'un des reproches les plus fréquents des rapports de jury.
La suite de ce cours dans l'appli
Dans l'appli, la lecture n'est que la première étape. Ce cours s'y prolonge avec quatre outils.
- Les flashcards du cours, qui reviennent au moment où tu commences à les oublier.
- Un quiz dans l'esprit du concours, corrigé question par question.
- Les points d'étape, de courts exercices corrigés placés au fil du cours.
- Un plan de révision recalculé chaque jour, qui te repropose ce cours quand il le faut et règle chaque séance sur le temps que tu as.
Le compte est gratuit, sans carte bancaire, et ce cours en fait partie avec ses outils. L'essai de 7 jours ouvre ensuite le plan de révision complet, puis l'abonnement coûte 14,90 € par mois ou 118,80 € par an, soit 9,90 € par mois.
Pour aller plus loin
Le format de la partie mathématiques de l'écrit, son seuil éliminatoire et les erreurs relevées par les jurys en 2026 sont détaillés sur la page de l'épreuve écrite de mathématiques. Les sujets officiels pour t'entraîner sont rassemblés sur la page des annales et sujets zéro, et le calcul des notes éliminatoires montre ce que coûte une partie mathématiques trop faible.
Pour retenir les règles de calcul sans relire le cours chaque semaine, l'article sur la répétition espacée explique comment espacer les révisions. Deux autres cours se lisent en entier sur le site, La phrase et La Révolution française et l'Empire.
Révise les fractions dans l'appli
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